Universal Robots Posenformat¶

Das Posenformat, welches von Universal Robots verwendet wird, besteht aus einer Position $XYZ$ in Millimetern und einer Orientierung im Angle-Axis Format $V=(\begin{array}{ccc}RX & RY & RZ\end{array})^T$ . Der Rotationswinkel $\theta$ im Bogenmaß ist die Länge der Rotationsachse $U$ .

$V = \left(\begin{array}{c}RX \\ RY \\ RZ\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\theta u_x \\ \theta u_y \\ \theta u_z\end{array}\right)$

$V$ wird als Rotationsvektor bezeichnet.

Umrechnung vom Angle-Axis Format in Quaternionen¶

Die Umrechnung von einem Rotationsvektor $V$ in eine Quaternion $q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})$ kann wie folgt durchgeführt werden.

Zunächst wird der Winkel $\theta$ im Bogenmaß aus dem Rotationsvektor $V$ gewonnen durch

$\theta = \sqrt{RX^2 + RY^2 + RZ^2}\text{.}$

Wenn $\theta = 0$ , dann ist die Quaternion gleich $q=(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1\end{array})$ , sonst wird sie berechnet durch

$x = RX \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ y = RY \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ z = RZ \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ w = \cos(\theta/2)\text{.}$

Umrechnung von Quaternionen ins Angle-Axis Format¶

Die Umrechnung von einer Quaternion $q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})$ mit $||q||=1$ in einen Rotationsvektor im Angle-Axis Format kann wie folgt durchgeführt werden.

Zunächst wird der Winkel $\theta$ im Bogenmaß aus dem Quaternion gewonnen durch

$\theta = 2\cdot\text{acos}(w)\text{.}$

Wenn $\theta = 0$ , dann ist der Rotationsvektor $V=(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\end{array})^T$ , sonst wird er berechnet durch

$RX = \theta \frac{x}{\sqrt{1-w^2}}\text{,} \\ RY = \theta \frac{y}{\sqrt{1-w^2}}\text{,} \\ RZ = \theta \frac{z}{\sqrt{1-w^2}}\text{.}$